兄が亡くなり、弟である私は兄と仲が良くないのであまり関わってはいませんでした。
その兄には子供がいましたので,私が相続人になることはないと考えていましたが、兄が亡くなってから半年が過ぎた頃、消費者金融から督促状が届きました。
おそらく兄の子供が相続放棄をして相続権が私にまわってきたのだと思います。
この場合、相続放棄は可能でしょうか?

相続放棄する場合は、必ず、「自己に相続が開始したことを知ったときから3ヶ月以内」に、家庭裁判所に申述しなければなりません。

つまり先順位の相続人が相続放棄をしたことを知った時から3ヶ月以内であれば、相続放棄が可能であると考えられます。

相続放棄の申述は一回限り、失敗して借金を背負わないためにも専門家に相談することをお勧めします。